Nell’episodio 150 del loro podcast Dear Hank and John, Hank and John Green si sono posti queste curiose domande:

Quanti visitatori della Torre Eiffel devono farci la cacca appena arrivati prima che l’intera torre venga coperta? Quanto tempo ci vuole?

Nessun problema: calcoliamo!

Essendo un fisico sento il bisogno di riformulare la domanda per rendere i conti più fattibili. Perciò la domanda che affronterò qui è:

Se ciascun visitatore alla Torre Eiffel facesse la cacca lì appena arrivato, quanto ci vorrebbe perché la pila diventasse alta quanto la torre?

I passi necessari per rispondere sono:

  1. Capire con che volume di cacca abbiamo a che fare
  2. Calcolare a quanta massa corrisponde
  3. Calcolare quante persone occorrono per produrla, ovvero dividere la massa totale per la massa che espelle ciascuno in media ogni giorno
  4. Dividere questo numero per il numero di visitatori annuali alla Torre Eiffel, per trovare quanti anni occorrono in totale

Iniziamo dal capire quanto grande è esattamente questa montagna di m—. Questo si è rivelato sorprendentemente intricato. Ma non voglio spoilerare.

Il favoloso monumento che nascerà da questo processo sarà conosciuto come La Pila di Cacca di Parigi–la Pila per semplicità–e sarà inevitabilmente un cono. Quella è la forma che prendono naturalmente le pile di roba buttata lì.

cone

Il volume V del cono è dato dalla formula V=(1/3)πhr²: h è l’altezza del cono (quella la sappiamo: 324 metri, come la torre), π è la vostra costante matematica preferita, r è il raggio alla base del cono. Con un po’ di trigonometria, questo risulta essere h/tan(α), cioè l’altezza divisa per la tangente dell’angolo alla base.

Qui ci viene in aiuto la fisica: ogni volta che lasciamo impilarsi del materiale, questo forma un cono con una pendenza ben precisa, che dipende solo dalle proprietà del materiale. Pensate ad esempio alla sabbia che scende in una clessidra.

Questo angolo si chiama angolo di attrito interno ed il suo valore per molti materiali è conosciuto. Purtroppo non per la cacca. Tirando un po’ ad indovinare, però, lo stimerei attorno a 30 gradi: come terra fangosa, ghiaia grossa o argilla semi-solida. Questo numero, tra l’altro, ci semplifica molto i conti perché rende il raggio alla base della Pila esattamente √3 volte l’altezza, semplificando la formula per il volume a: V=πh³.

Avendo tutti i numeri che servono, possiamo semplicemente calcolare che il volume della Pila si aggira attorno a 106 milioni di metri cubi.

(*)

A quanto pare, la densità media della cacca è uguale a quella dell’acqua. Non sono convintissimo di questo fatto, ma non ho informazioni migliori e l’internet sembra d’accordo a riguardo quindi usiamo questo. Perciò la pila pesa 106 milioni di tonnellate.

Secondo un articolo del 2015, una persona produce in media 128 grammi di feci al giorno. Su internet si trova ogni genere di stima, fino addirittura a mezzo chilo. 128g mi pare più ragionevole e meglio supportato. E comunque, se va bene per Wikipedia, va bene per questi conti. Dividendo 106 milioni di tonnellate per 128g di cacca a testa troviamo che la Pila richiede il lavoro di 834.77 miliardi di persone.

Ogni anno 7 milioni di persone visitano la Torre Eiffel. 7 milioni di tributi per la Pila. Pur essendo molti, vuol comunque dire che ci vorranno 119300 anni circa per eclissare la Torre impilando cacca.

È un sacco di tempo. Ma dobbiamo tener presente esattamente quanto grande è la Pila. La Torre Eiffel è altissima, e la Pila non è granché ripida, perciò molto materiale scivola semplicemente ai lati.

Ovviamente ho preso alcune scorciatoie per i conti: quanto più stabile diventa la Pila per via della torre e degli edifici attorno? la cacca nella Pila non è inerte: come cambia nei millenni? come contribuiscono questi ed altri fattori alle dimensioni ed al tempo di costruzione? Il numero di visitatori ogni anno diminuirà perché c’è una montagna di sterco in mezzo alla piazza o aumenterà perché la gente vuol partecipare? Questo è solo un punto di partenza, una prima approssimazione. Ma serve perché la scienza si fa costruendo gli uni sul lavoro degli altri.

Bonus: condensare in una formula unica

Se volete giocarci un po’ o controllare i miei numeri (fatelo: solo così progredisce la scienza!), ecco una formula che mette assieme tutti i calcoli in un passaggio unico:

tempo=π*altezza³/[3*VisitatoriAnnuali*MassaCaccaGiornaliera*(tan(AngoloAttrito))²]

Mettendoci le vostre stime o numeri diversi potete usarla per calcolare anche quanto ci vuole a coprire di cacca altri monumenti.

(*) Rivedendo questo frammento di Jurassic Park, la pila di cacca di triceratopo sembra essere molto più ripida della mia stima. Ma ci tengo a precisare alcune cose: primo, è cacca di triceratopo, non di umani–i triceratopi sono erbivori e quindi potrebbero avere cacca più solida e fibrosa. Secondo, quello è un film, non la realtà (la cacca potrebbe essere vera, ma non lo so). Infine, anche con pile più ripide ci vogliono comunque migliaia di anni per completare la Pila. Anche con un angolo di 45° ci vorrebbero 40000 anni.

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